倍数的基本概念

先说最基本的用法：　　a 是 b 的 “倍数”；这既是日常用语，也是数学上的专业术语，另外一种等价的说法是：　　a 是 b 的 ”整数倍”。可见，所谓 ”倍数” 就是 “整数倍”的意思，这个概念是根据 ”整除” 的概念来定义的，所以会要求：a、b 都是整数，且 b 不为零。这句话就表示：　　a 能被 b 整除；所以我们还可以这首顷样使用该词：　　a 是不是 b 的 ‘倍数’？——表示：a 能不能被 b 整除？　　a 不是 b 的 ‘倍数’——表示：”a 不能被 b 整除”；因为”整除”是允许讨论负整数的，所以，”负整数倍数”也是有有意义的。当然，对于没学过负数或不打算讨论负数的情形而言，所谓 “倍数” 就是专指 “正整数倍数” 了——这也是允许的。 继续分析这句话：　　a 是 b 的 “倍数”；（1）、这句话中，”是” 不是 ”等于”、”等同于” 的意思，而是 ”属于”的意思。另外，我们知道：乘法与除法互为逆运算。所以，既然能根据”整除”来定义，也就可以根据“整数乘法”禅清来定义。所以换种说法，这句话就成了：　　b 的 ”倍数” ”包括” a；（2）、”倍数” 一词总是与某个数字（即上面的 b）相关联；比如：　　2 的倍数、5 的倍数、10 的倍数……（3）、与数字（b）关联后，”倍数”所表示的对象是另一个数字（即：a）；当然，只知道 b 的话，还无法确定 a 的具体值；比如：　　0 是 2 的倍数；2 的倍数包括 0；　　2 是 2 的倍数；2 的倍数包括 2；-2 是 2 的倍数；2 的倍数包括 -2；……可见，0、2、-2……都是 2 的倍数，若以 b 表示 2，a 就是这些倍数其中之一。而所谓的 “倍数” 最终所指的就是数字 a，前提是必须先与 b 相关联。 （4）、要想确定 a 的具体取值，还要知道第三个数字，即：用 b 整除 a 所得的商，记作：m；于是有：a 是 b的 m 倍；或： 　　b 的 m 倍 是 a； 因为增加了一个数字 m，那 a 的取值就可以确定了；比如：　　0 是 2 的0 倍；2 的 0 倍 是 0；　　2 是 2 的1 倍；2 的 1 倍 是 2；　　-2 是 2 的 -1 倍；2 的 -1 倍 是 -2；……此时不再说 “倍数”，而是用 ”倍” 这个词。因为 “倍” 字的前面总是关联某个“数”（即：m），所以有时也会把 “倍”字所关联的“数” m 称作 “倍数”——m 是 从 b 得到 a 所需要 “扩大的倍数”。此时，m 是 a 除以 b 的商，是整数 a 的因数，还是乘法算式 b × m = a 中的乘数。注意：这里出现了 “倍数” 一词，显然这个词的含义已经不同于前面。它所表达的意思是：翻倍或累加的次数。根据这个定义，称其为 “倍数” 也说得通。不过为了避免与其常规用法混淆，“倍数”一词在表示这种含义时，必须用类似上面的某种说法，如：“扩大的倍数”、“增长的倍数”等。这姑且算作 “倍数” 一词的第二种用法，根据上下文可以很容易区分这两种用法。 （5）、对于“倍数”的第二种用法，是可以将其从整数推广到全体实数的。因为，它不再表示某个（整）数 a 是否是另一个（整）数 b 的 “倍数”——即“整数倍”，而是表贺芹前示将任意一个数（b），扩大（或增加）的“倍数”——m。即：a、b、m 可以是任意实数，只不过 b 不能为零。 （6）、再说一下“乘法”定义与“除法”定义的区别；　　除法定义：a 是 b 的倍数；a 是 b 的m 倍；乘法定义：b 的倍数包括a；b 的 m 倍是 a；两种定义内部，前后两部分的区别都是：讨论范围是 “整数” 还是 “实数”；而除法与乘法这两种定义之间的区别则是：除法不允许 b 为零，而乘法允许。　　至于深层原因，则涉及到”群论”、”幺元”、”零元”、”逆元”等高等数学的概念。 你只要知道，是先有了”乘法”，后有了”除法”的就行了。这也是乘法比除法适用性更强的原因之一。　　对于我们所关心的”零”，因为它是”乘法”运算的”零元”，是不可能有”逆元”的，而”逆运算”就是根据”逆元”来定义的，所以”零”不能用作 “除法”运算的”除数”。总之：　　我们可以说：0 的任意倍，都是 0；即：0 的 “倍数” 只有 0；　　却不可以说：某个数（包括 0 本身）是 0 的多少倍；其实，正是第一句中的 “任意” 一词使第二句话变得没有意义了。请采纳答案，支持我一下。