布莱克斯科尔斯

这算是年度最冷门的问题了吧。正好我以前念书时做过期权的布莱克斯科尔斯模型和二叉树定价模型，这里分别给题主介绍一下吧。友情提示，这篇回答的专业性太强，路过的非金融专业的朋友，别被好奇心骗进来，如果睡不着，那请详细阅读，有助睡眠！

布莱克-斯科尔斯期权定价模型

一、布莱克-斯科尔斯期权定价模型的背景

布莱克斯科尔斯模型是最经典的期权定价模型，最早由两位大咖，布莱克和斯科尔斯于上世纪七十年代提出。布莱克斯科尔斯模型在预测期权市场绝对价格走势方面用处不大，但在波动率估计、分离资产的特定风险及规避、比较不同期权的相对价格偏离等方面具有很广泛的应用。在下面我会详细介绍。

二、布莱克-斯科尔斯期权定价模型的介绍

为方便计算和理解，下面我以最简单的无分红欧式期权定价为例逐一分析。

（1）模型公式

C=SN(d1)-Xe^(-r(T-t))N(d2)，d1=(ln(S/X)+(r+σ^2/2)(T-t))/(σ((T-t)^(-1/2))，d2=d1-σ(T-t)^(-1/2)。其中，C：无分红欧式看涨期权，其中欧式期权在到期前日T前不可以行权；S：标的物的价格；N(d1)和N(d2)为风险中性设定，具体数值可以根据计算结果在标准正态分布表中查询；X：期权的行权价格；r：无风险收益率；T-t：期权的持有期；σ：期权的波动率。（2）模型假设

交易单位无限可分。如你可以买一手，也可以买0.00001手，这点显然不符合实际情况。无风险利率恒定不变，即r恒定。在实际交易中心，无风险收益并不恒定。无交易成本。显然，在实际交易中，买卖期权是要支付佣金的。持有期内无红利。在实际交易中，这点要看期权的标的物，有些标的符合这个假设。标的资产价格严格服从对数正态分布。在成熟的市场中，这点勉强符合。（3）模型定价

下面按照我以前做过的一个案例进行分析。

在对模型使用之前，我们需要先估算两个参数，一个无风险收益率r，一个是期权的波动率σ，剩下的参数都是确定的。在实际工作中，无风险收益率我一般取短期国债收益率再做适当调整。下面是我之前做50ETF期权的波动率估算图，为了控制偏差，我分别估计了极值波动率和已实现波动率，如下图所示。根据当时的市场数据，标的物市场价格3.3091，执行价格3.00，持有期0.0822，我的波动率估算结果是30.00%，持有期为0.0822年，d(1)和d(2)分别为1.2354和1.1493，通过查阅标准正态分布表可知，N(d1)好N(d2)分别为0.8917和0.8748。代入公式，我们可以计算出当时的50ETF期权价格为：3.3091×0.8917-3.00×e^(-5.5%×0.0822)×0.8748=0.3380。下表是我根据不同行权价格的50ETF期权，运用布莱克-斯科尔斯期权定价模型计算出的期权价格，如下表所示。三、布莱克-斯科尔斯期权定价模型的不足

布莱克斯科尔斯期权定价模型的不足之处大家也讨论得很多了，我下面就简单分析一下吧。

模型的假设条件过于严格。例如交易单位无限可分就无法符合实际的市场情况，由此也导致了运用该模型进行期权定价时会与实际市场价格产生巨大的偏差。运用该模型进行定价时需要对波动率进行估算。现在有很多种波动率估算方法，但无论哪一种方法估算都有一定程度的误差，这同样会导致模型定价不准确。当然，由此认为布莱克斯科尔斯模型全无用处也不对。此模型在实际交易中对特定风险因素的回避具有很大的优势。四、布莱克-斯科尔斯期权定价模型的避险

在布莱克斯科尔斯模型中，每一个参数都对应着不同的特点风险类型。

对模型公式中的标的物市场价格(S)进行一阶求导，可以计算出期权价格(C)对标的物市场价格变动的敏感性。于是，我们就可以利用该敏感性对持有的金融资产进行市场风险的规避。推导过程此处不做计算，求导的结果是Delta(C)=N(d1)。对模型公式中的持有期这一因素进行求导，同样可以计算出期权价格对持有期变动的敏感性。于是，我们也可以利用该敏感性对期权随时间流逝产生价值损耗的风险做出规避。求导的结果是：Theta(C)。

由该模型推导出的其他期权风险参数此处不再详述，下面这张图是我之前做研究时根据市场的实际走势制作的，对于欧式看涨期权，Delta值和Theta值有如下规律。

下图（左）：欧式看涨期权的Delta值会随着标的物市场价格上涨而上行。其特点是，上行的速率先慢、再快、后慢。下图（右）：欧式看涨期权的Theta值会随着标的物市场价格上涨而下行。其特点是，下行的速率先快，再缓慢上抬，后收敛于底部某一特定值。如下所示；

二叉树期权定价模型

一、二叉树期权定价模型的背景

二叉树期权定价模型由美国经济学家罗斯等人于1979年推出。二叉树期权定价模型的推出是在布莱克斯科尔斯模型之后，一是为了解决后者在实际应用中产生的定价偏差过大和只能对无红利欧式期权进行定价的局限性，二是为投资者提供一种便于理解和使用的期权定价工具。二、二叉树期权定价模型的介绍

（1）模型公式

C=e^(-r(T-t))(pC(u)+(1-p)C(d)。p=(e^(r(T-t))-d)/(u-d)。其中，p：标的物价格上涨的概率；u、d：标的物价格上涨、下跌的幅度；其他参数与布莱克-斯科尔斯期权定价模型相同。亦即，二叉树期权定价模型假定在未来的一段时间内，标的物价格只有上涨和下跌两个方向，且标的物价格每次上涨和下跌的幅度、概率是不变的。可以简单理解为下图；（2）模型假设

风险中性假设，这点与布莱克斯科尔斯期权定价模型一致。标的物价格的上涨幅度和下跌幅度是不变的，且上涨与下跌的概率也是恒定的。允许期权在到期日之前行权，这点优于布莱克-斯科尔斯期权定价模型。当标的资产有红利支付时，可以对红利进行贴现处理，这一点也优于布莱克-斯科尔斯期权定价模型。（3）期权定价

为方便大家理解，我下面举个例子说明；

现在有这样的一个期权，r=12%,u=1.1，d=0.9，T-t=0.25年，C(u)=1，C(d)=0。那么根据二叉树期权定价模型公式，可以计算出期权的价格为；p=(e^(0.12*0.25)-09.)/(1.1-0.9)=0.6523。C=e^(-0.12×0.25)(0.6523×1+(1-0.6523)×0)=0.6330。下图是我研究二叉树模型时，根据市场的实际情况，将二叉树期权定价模型分为30个周期计算的一个期权定价，如下所示当时我对模型设定的参数和计算出来的期权价格如下表所示；

三、二叉树期权定价模型的不足

在实际的运用中，二叉树期权定价模型的假设条件虽然比布莱克-斯科尔斯期权模型宽松了很多，但计算出来的定价效果也不太好，特别是在设定的期数较少时。根据我以前的经验，设定期数大于30期时，可以得到与市场实际价格相近的计算结果。对于风险中性假设，二叉树模型与布莱克斯科尔斯模型存在一样的问题。因为在实际的交易中，投资者不可能全部都是完全理性的，贪婪、冲动等人性因素比比皆是，且都会影响到二叉树期权定价模型的准确性。总结

通过我以上对布莱克斯科尔斯期权定价模型和二叉树期权定价模型的详细介绍，总结起来主要有以下几点。

两者都是期权定价的方式，各有优劣势。布莱克斯科尔斯模型在期权定价的准确性上较差，但在特定风险回避方面，比二叉树模型更具备优势。运用二叉树模型对期权进行定价时，期数至少要设定在三十期以上才会得到一个比较贴近市场的结果，这点优于布莱克斯科尔斯模型，但在特定风险的规避上，二叉树模型则显得比较无力。【一厢萌宠】：CIIA持有人，一个喜欢猫咪的前金融民工，欢迎关注交流。