动点问题

动点问题 动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。 一、例题: 如图，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD . (1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积； (2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN‖PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 . ① 求S关于t的函数关系式；② (附加题) 求S的最大值。 解脊配题思路： 第（1）问比较简单，就是一个静态问题当点P运动2秒时，AP=2 cm， 由∠A=60°，知AE=1，PE= . ∴ SΔAPE= 第（2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论. P点从A→B→C一共用了12秒，走了12 cm， Q 点从A→B用了8秒，B→C用了2秒， 所以t的取值范围是 0≤t≤10 不变量：P、Q 点走过的总路程都是12cm，P点的速度不变，所以AP始终为：t+2 若速度有变化，总路程 =变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度×变化点所用时间+变化后的速度×（t－变化点所用时间）. 如当8≤t≤10时，点Q所走的路程AQ=1×8+2（t－8）=2t-8 ① 当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动， 设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F， 则AQ=t，AF= ，QF= ，AP=t+2，AG=1+ ，PG= . ∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形， 其面积为（PG + QF）×AG÷2 S= . 当6≤t≤8时，点P在BC上运动，芦野慧点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F， 则AQ=t，AF= ，DF=4- （总量减部分量）， QF= ，AP=t+2，BP=t-6（总量减部分量）， CP=AC- AP=12-（t+2）=10-t（总量减部分量）， PG= ，而BD= ， 故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为 平行四边形的面积减去两个三角形面积S= . 当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F， 则AQ=2t-8，CQ= AC- AQ= 12-（2t-8）=20-2t，（难点） QF=(20-2t) ，CP=10-t，PG= . ∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S= . ②(附加题)当0≤t≤6时，S的最大值为 ； 当6≤t≤8时，S的最大值为 ； 当8≤t≤10时，S的最大值为 ； 所以当t=8时，S有最大值为 .二、练习： 1.如图，正方形ABCD的边长为5cm，Rt△EFG中，∠G＝90°，FG＝4cm，EG＝3cm，且点B、F、C、G在直线 上，△EFG由F、C重合的位置开始，以1cm/秒的速度沿直线 按箭头所表示的方向作匀速直线运动． （1）当△EFG运动时，求点E分别运动到CD上和AB上的时间； （2）设x（秒）后，△EFG与正方形ABCD重合部分的面积为y（cm ）陪答，求y与x的函数关系式； （3）在下面的直角坐标系中，画出0≤x≤2时（2）中函数的大致图象；如果以O为圆心的圆与该图象交于点P（x， ），与x轴交于点A、B（A在B的左侧），求∠PAB的度数．2.已知，如图，在直角梯形COAB中，CB‖OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒， （1）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出S的最大值 （2）动点P从出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标3.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥AC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。 （1）P点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示） （2）试求 ⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。 （3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。4.如图，在 中， ， ， 厘米，质点P从A点出发沿线路 作匀速运动，质点Q从AC的中点D同时出发沿线路 作匀速运动逐步靠近质点P，设两质点P、Q的速度分别为1厘米/秒、 厘米/秒（ ），它们在 秒后于BC边上的某一点E相遇。（1）求出AC与BC的长度；（2）试问两质点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？（3）若以D、E、C为顶点的三角形与△ABC相似，试分别求出 与 的值；5.在三角形ABC中, .现有动点P从点A出发,沿射线AB向点B方向运动;动点Q从点C出发,沿射线CB也向点B方向运动.如果点P的速度是 /秒,点Q的速度是 /秒,它们同时出发,求:(1)几秒钟后,ΔPBQ的面积是ΔABC的面积的一半? (2)在第(1)问的前提下,P,Q两点之间的距离是多少?6.如图,已知直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠A=90o，∠C=60o，AD=3cm，BC=9cm．⊙O1的圆心O1从点A开始沿A—D—C折线以1cm/s的速度向点C运动，⊙O2的圆心O2从点B开始沿BA边以 cm/s的速度向点A运动，如果⊙O1半径为2cm，⊙O2的半径为4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts （1）请求出⊙O2与腰CD相切时t的值； （2）在0s