Simone
子集，为大集合中一部分的集合，故亦称部分集合。 [编辑本段]定义 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集。如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，而集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集。空集是任何集合的子集。 任何一个集合是它本身的子集.空集是任何非空集合的真子集. [编辑本段]例子 我们知道，任何一个正偶数都是自然数。就是说，正偶数集E的任何一个元素都是自然数集N的一个元素。 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集。记作 读作“A含于B”（或B包含A）。例如，上述的 如果A中至少有一个元素不属于B，那么A不是B的子集，可记作 读作“A不含于B”（或“B不包含A”）。 [编辑本段]性质 命题 1：空集是任意集合的子集。 证明：给定任意集合 A，要证明Φ是 A 的子集。这要求给出所有Φ的元素是 A 的元素；但是，Φ没有元素。 对有经验的数学家们来说，推论 "Φ没有元素，所以Φ的所有元素是 A 的元素" 是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 因为Φ没有任何元素，如何使"这些元素"成为别的集合的元素？ 换一种思维将有所帮助。 为了证明Φ不是 A 的子集，必须找到一个元素，属于Φ，但不属于 A。 因为Φ没有元素，所以这是不可能的。因此Φ一定是 A 的子集。 这个命题察塌说明：包含是一种偏序关系。 命题 2：若 A，B，C 是集合，则： 自反性: A �6�7 A 反对称性: A �6�7 B 且 B �6�7 A 当且仅当 A = B 传递性: 若 A �6�7 B 且 B �6�7 C 则 A �6�7 C 这个命题说明：对任意集合 S，S 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。 命题 3：若 A，B，C 是集合 S 的子集，则： 存在一个最小元和一个最大元孝激： Φ �6�7 A �6�7 S (that Φ �6�7 A is Proposition 1 above.) 存在并运算: A �6�7 A∪B 若 A �6�7 C 且 B �6�7 C 则 A∪B �6�7 C 存在交运算: A∩B �6�7 A 若 C �败慎圆6�7 A 且 C �6�7 B 则 C �6�7 A∩B 这个命题说明：表述 "A �6�7 B " 和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。 命题 4: 对任意两个集合 A 和 B，下列表述等价： A �6�7 B A ∩ B = A A ∪ B = B A �6�1 B = B′ �6�7 A′ 注意问题 谈起子集，特别要注意的是空集，记住空集是任何集合的子集，而不是任何集合的真子集,如空集就不是空集的真子集，故空集是任何非空集合的真子集。然后要知道，如果一个集合的元素有n个，那么它的子集有2的n次方个（注意空集的存在），.非空子集有2的n次方减1个，真子集有2的n次方减1个，非空真子集有2的n次方减2个。
